Question

【題目】定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足： ，且在區(qū)間上為遞增函數(shù)．

（1）求、的值；

（2）求證： 是偶函數(shù)；

（3）解不等式．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：本題為抽象函數(shù)問題，解決抽象函數(shù)的基本方法有兩種：一是賦值法，二是“打回原型”，本題第一步采用賦值法，先給x,y賦值1，求出f(1)，再給x,y賦值-1，求出f(-1)；最后給y賦值-1，判斷函數(shù)奇偶性，就是尋求f(-x)與f(x)的關(guān)系，給y賦值-1，判斷出函數(shù)的奇偶性；再根據(jù)函數(shù)的奇偶性，得出函數(shù)圖像的對(duì)稱性，利用已知所提供的函數(shù)的單調(diào)性，借助f(-1)=f(1)=0,畫出函數(shù)的圖像，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式，解不等式.

試題解析：

⑴令 則 即

令 則 即

⑵令 則 即

為偶函數(shù)

⑶由題意可知的大致圖象為

原不等式等價(jià)于

即且

不等式的解集為

【點(diǎn)精】本題為抽象函數(shù)問題，解決抽象函數(shù)的基本方法有兩種：一是賦值法，二是“打回原型”，賦值法是最常用的解題方法，巧妙的賦值可求出函數(shù)的特值，也可以判斷抽象函數(shù)的奇偶性，也可以證明函數(shù)的單調(diào)性，借助函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及特殊點(diǎn)特殊值可以模擬出函數(shù)的圖象，在此基礎(chǔ)上可以解不等式或解決其它函數(shù)問題.