Question

14．已知集合A，B，C分別為A=[-1，a]，B={y|y=3x-2，x∈A}，C={z|z=x²，x∈A}，C⊆B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出B=[-5，3a-2]，然后求函數(shù)z=x²在[-1，a]上的值域，需討論a：-1＜a≤0，0＜a＜1，a≥1，求出每種情況下的z=x²的值域，即求出C，再根據(jù)C⊆B從而確定出a的取值范圍．

解答 解：y=3x-2，x∈[-1，a]；
∴y∈[-5，3a-2]；
∴B=[-5，3a-2]；
z=x²，x∈[-1，a]；
①若-1＜a≤0，則z∈[a²，1]，即C=[a²，1]；
∵3a-2＜0，∴不滿足C⊆B，即這種情況不存在；
②若0＜a＜1，則z∈[0，1]，即C=[0，1]；
∵3a-2＜1，不滿足C⊆B；
③若a≥1，則z∈[0，a²]，即C=[0，a²]；
∵C⊆B；
∴a²≤3a-2；
解得1≤a≤2；
∴綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，2]．

點(diǎn)評(píng) 考查描述法表示集合，一次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性或端點(diǎn)與頂點(diǎn)處的函數(shù)值求二次函數(shù)的值域，以及子集的定義．