Question

20．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，以拋物線C上的點M（x₀，2$\sqrt{2}$）（x₀＞$\frac{p}{2}$）為圓心的圓與線段MF相交于點A，且被直線x=$\frac{p}{2}$截得的弦長為$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{MA}$|，若$\frac{|\overrightarrow{MA|}}{|\overrightarrow{AF|}}$=2，則|$\overrightarrow{AF}$|=1．

Answer 1

分析 由題意，|MF|=x₀+$\frac{p}{2}$．利用圓M與線段MF相交于點A，且被直線x=$\frac{p}{2}$截得的弦長為$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{MA}$|，可得|MA|=2（x₀-$\frac{p}{2}$），利用$\frac{|\overrightarrow{MA|}}{|\overrightarrow{AF|}}$=2，求出x₀，p，即可求出|$\overrightarrow{AF}$|．

解答 解：由題意，|MF|=x₀+$\frac{p}{2}$．
∵圓M與線段MF相交于點A，且被直線x=$\frac{p}{2}$截得的弦長為$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{MA}$|，
∴|MA|=2（x₀-$\frac{p}{2}$），
∵$\frac{|\overrightarrow{MA|}}{|\overrightarrow{AF|}}$=2，
∴|MF|=$\frac{3}{2}$|MA|，
∴x₀=p，
∴2p²=8，∴p=2，
∴|$\overrightarrow{AF}$|=1．
故答案為1．

點評 本題考查拋物線的方程與定義，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．