Question

14．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若$\frac{tanA-tanB}{tanA+tanB}$=$\frac{c-b}{c}$，則這個三角形必含有（　�。�

• A． 90°的內角
• B． 60°的內角
• C． 45°的內角
• D． 30°的內角

Answer 1

分析 先把已知條件等號左邊的分子分母利用同角三角函數(shù)間的基本關系切化弦后，分子分母都乘以cosAcosB后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，右邊利用正弦定理化簡后，根據(jù)三角形的內角和定理及誘導公式，得到2cosA=1，然后在等號兩邊都乘以sinA后，利用二倍角的正弦函數(shù)公式及誘導公式化簡后，即可得到2A=B+C，由A+B+C=180°，即可解得：A=60°．

解答 解：$\frac{tanA-tanB}{tanA+tanB}$=$\frac{\frac{sinA}{cosA}-\frac{sinB}{cosB}}{\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}}$=$\frac{sinAcosB-cosAsinB}{sinAcosB+cosAsinB}$=$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}$=$\frac{c-b}{c}$=$\frac{sinC-sinB}{sinC}$，
因為sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，得到sin（A-B）=sinC-sinB，
即sinB=sin（A+B）-sin（A-B）=2cosAsinB，
得到2cosA=1，即2sinAcosA=sinA，即sin2A=sinA=sin（B+C），
由2A+B+C≠π，得到2A=B+C，
因為A+B+C=180°
所以可解得：A=60°
故選：B．

點評 此題考查學生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關系、兩角和與差的正弦函數(shù)公式以及誘導公式化簡求值，屬于中檔題．