Question

已知函數(shù)f（x）=cos（

π

6

x+

π

2

）
（1）用“五點法”作圖作出y=f（x）的一個周期的圖象；（列表作圖）
（2）求函數(shù)f（x）的最大值，并寫出取得最大值時自變量x的取值集合；
（3）函數(shù)y=f（x）可以由函數(shù)y=cosx如何變化得到？寫出變化過程．

Answer 1

考點：五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)題意，列出表格，并畫出函數(shù)f（x）在一個周期[-3，9]上的圖象；
（2）求出函數(shù)f（x）的最大值以及對應(yīng)的自變量x的取值集合；
（3）方法一，先把橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="ucis2qu" class="MathJye">

6

π

倍，再向左平移3個單位；
方法二，先向左平移

π

2

個單位，再把橫坐標變化成原來的

6

π

倍．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，列表如下：

π 6 x+ π 2	0	π 2	π	3π 2	2π
x	-3	0	3	6	9
f（x）=cos（ π 6 x+ π 2 ）	1	0	-1	0	1

畫出函數(shù)f（x）=cos（

π

6

x+

π

2

）在周期[-3，9]上的圖象，如圖所示

（2）函數(shù)f（x）=cos（

π

6

x+

π

2

）的最大值是f（x）_max=1，
令

π

6

x+

π

2

=2kπ，k∈Z，
解得x=-3+12k，k∈Z，
即函數(shù)取得最大值時自變量x的取值集合是{x|x=-3+12k，k∈Z}；
（3）方法一，由函數(shù)y=cosx圖象的橫坐標變換成原來的

6

π

倍，再向左平移3個單位，即得函數(shù)y=f（x）的圖象；
方法二，由函數(shù)y=cosx向左平移

π

2

個單位，再把橫坐標變化成原來的

6

π

倍，即得函數(shù)y=f（x）的圖象．

點評：本題考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)對函數(shù)解析式進行分析，利用整體思想求解，是基礎(chǔ)題目．