Question

【題目】如圖，某沿海地區(qū)計(jì)劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通A，B兩地，A地位于東西方向的直線MN上的陸地處，B地位于海上一個(gè)燈塔處，在A地用測角器測得，在A地正西方向4km的點(diǎn)C處，用測角器測得.擬定鋪設(shè)方案如下：在岸MN上選一點(diǎn)P，先沿線段AP在地下鋪設(shè)，再沿線段PB在水下鋪設(shè).預(yù)算地下、水下的電纜鋪設(shè)費(fèi)用分別為2萬元/km和4萬元/km，設(shè)，，鋪設(shè)電纜的總費(fèi)用為萬元.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）試問點(diǎn)P選在何處時(shí)，鋪設(shè)的總費(fèi)用最少，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1），其中（2）當(dāng)點(diǎn)P選在距離A地處時(shí)，鋪設(shè)的總費(fèi)用最少，詳見解析.

【解析】

（1）過B作MN的垂線，垂足為D，根據(jù)題中條件，得到，，由，得到，，，進(jìn)而得到，化簡即可得出結(jié)果；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，先設(shè)，，對求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性，即可求出最值.

（1）過B作MN的垂線，垂足為D.

在中，，則.

在中，，

所以.

因?yàn)?/span>，所以，

所以.

由，則，.

由，得.

所以，

即，其中.

（2）設(shè)，，

則.

令，得，所以.

列表如下：

		0
h(θ)	↘	極小值	↗

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，

所以取得最小值，此時(shí).

答：當(dāng)點(diǎn)P選在距離A地處時(shí)，鋪設(shè)的總費(fèi)用最少，且為萬元.