Question

10．已知動直線kx-y+4-3k=0與圓x²+y²-6x-8y+24=0交于A，B兩點，平面上的動點P滿足：|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=4，則動點P到坐標原點O的距離的最大值為多少．

Answer 1

分析 由條件可得直線經過圓心，點P在以點M為圓心、半徑等于2的圓上，求得OM的值，則OM+2為所求．

解答 解：動直線kx-y+4-3k=0，即 k（x-3）-y+4=0，經過定點M（3，4），
圓x²+y²-6x-8y+24=0，即 （x-3）²+（y-4）²=1，表示以M（3，4）為圓心、半徑等于1的圓．
故線段AB的中點為M，故有$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PM}$．
結合|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=4，可得PM=|$\overrightarrow{PM}$|=2，故點P在以點M為圓心、半徑等于2的圓上，
由于OM=5，
∴動點P到坐標原點O的距離的最大值為OM+2=7．

點評 本題主要考查直線經過定點問題，直線和圓的位置關系的應用，屬于中檔題．