Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足：a1＝，an＋1＝（n∈N*）．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e＝2.71828…）

（1）證明：an＋1>an（n∈N*）；

（2）設(shè)bn＝1－an，是否存在實(shí)數(shù)M>0，使得b1＋b2＋…＋bn≤M對任意n∈N*成立？若存在，求出M的一個(gè)值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）不存在，理由見解析

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)證明即可得證；

（2）先用數(shù)學(xué)歸納法證明，則bn＝1－an，取，通過轉(zhuǎn)化即可證明.

考慮函數(shù)，則，

由得，由得，

所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，

所以，當(dāng)?shù)忍柍闪�時(shí)，即，但a1＝，

所以an＋1>an（n∈N*）；

（2）不存在，理由如下：

先用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)n=1時(shí)，滿足題意；

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即成立，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，，

即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立，

所以對于一切n∈N*，都有，

bn＝1－an，取，

即，

所以對于任意實(shí)數(shù)M＞0，取t>2M，且，

有

所以不存在滿足條件的M.