Question

【題目】已知.

（1）若有兩個零點，求的范圍；

（2）若有兩個極值點，求的范圍；

（3）在（2）的條件下，若的兩個極值點為 ，求證： .

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 見解析

【解析】試題分析:（1）由題意函數必有極值點，且極大值大于零，列對應不等式，解得的范圍；（2）先求導數，得有兩個改變符號的零點，即導函數必有極值點，且極大值大于零，列對應不等式，解得的范圍；（3）由（2）再利用極值點條件構造函數，最后利用導數研究函數單調性，根據最值證不等式

試題解析：方法一：

（1）

有兩個零點， 有兩個零點

時在上單調，最多有一個零點，不合題意

在上↑，在上↓

又時，

必有兩個零點

（2）有兩個改變符號的零點

設則

時， 恒成立， 在上單調，最多有一個零點，不合題意

由得： ，

在上↑，在上↓

，即

又

在各有一個零點

（3）由（2），結合h(1)=1-2a>0，知

設

在上↓，

方法二：分離參數法

（1），兩圖象有兩交點

令

當

當，

結合圖像， 。

（2）有兩個改變符號的零點

等價于對應的兩函數的圖像有兩交點

令

當

當

結合圖象，

（3）由（2）