Question

函數(shù)f(x)=ax³+3x²+3x(a≠0).
（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，求a的取值范圍.

Answer 1

（1）a≥1時(shí)，在（-，+）是增函數(shù)；0<a<1時(shí), f（x）在（－，x₂），（x₁，+）上是增函數(shù)；f（x）在（x₂，x₁）上是減函數(shù)；（2）

解析試題分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后求出是或的解集即可.
（2）分類討論在區(qū)間（1，2）上使成立的條件，并求出參數(shù)a的取值范圍即可
試題解析：（1），的判別式△=36（1-a）.
（i）若a≥1，則，且當(dāng)且僅當(dāng)a=1，x=-1，故此時(shí)f（x）在R上是增函數(shù).
（ii）由于a≠0，故當(dāng)a<1時(shí)，有兩個(gè)根：，
若0<a<1,則當(dāng)x∈（－，x₂）或x∈（x₁，+）時(shí)，，故f（x）在（－，x₂），（x₁，+）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₂，x₁）時(shí)，，故f（x）在（x₂，x₁）上是減函數(shù)；
（2）當(dāng)a>0，x>0時(shí), ，所以當(dāng)a>0時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數(shù).
若a<0時(shí)，f（x）在區(qū)間（1,2）是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)且，解得.
綜上，a的取值范圍是.
考點(diǎn)：1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2.導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.