Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，橢圓與直線相切于點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線： 與橢圓相交于、兩點(diǎn)（， 不是長軸端點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓在軸正半軸上的頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）利用點(diǎn)在橢圓上及相切關(guān)系布列方程組，即可解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）聯(lián)立方程易得： ， ，以為直徑的圓過橢圓在軸正半軸上的頂點(diǎn)，∴，即或，經(jīng)檢驗(yàn)得到結(jié)果.

試題解析：

法一（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（， 且）

∵在橢圓上，∴ ①

由得

∵橢圓與直線相切，∴，

即②

由①②知，

故所求橢圓方程為

法二：設(shè)橢圓為（， 且）則它在點(diǎn)處的切線為，它與表示同一直線，∴， ，∴，

故所求橢圓方程為.

(Ⅱ)設(shè)， ，聯(lián)立

得

得

，

，

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過橢圓的上頂點(diǎn)

∴即

∴

即

即

即

∴或

當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)與已知矛盾

當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)滿足

所以，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為