Question

【題目】已知經(jīng)過原點的直線與橢圓交于兩點，點為橢圓上不同于的一點，直線的斜率均存在，且直線的斜率之積為.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若，設分別為橢圓的左、右焦點，斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點，且與橢圓交于兩點，若點在以為直徑的圓內部，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

(1)設出點的坐標，利用點差法可得橢圓的離心率為；

(2)聯(lián)立直線的點斜式方程與橢圓方程，結合韋達定理得到關于實數(shù)k的不等式 ，求解不等式可得.

試題解析：

（1）設則， ，∵點三點均在橢圓上，

∴， ，

∴作差得，

∴ ，

∴.

（2）∵， ，∴， ，

設， ，直線的方程為，記， ，

聯(lián)立得， ，

∴， ，

當點在以為直徑的圓內部時，

，

∴ ，

得 ，

解得.