Question

已知函數(shù)f(x)=x2+(b-

2-a2

)x+a+b是偶函數(shù)，則此函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標的最大值為（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、4
• D、-2

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：利用函數(shù)是偶函數(shù)，建立方程關系即可得到a，b的關系，然后利用換元法即可求出函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標的最大值．

解答： 解：∵函數(shù)f(x)=x2+(b-

2-a2

)x+a+b是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
即x2-(b-

2-a2

)x+a+b=x2+(b-

2-a2

)x+a+b，
∴-(b-

2-a2

)x=(b-

2-a2

)x，
即b-

2-a2

=0，
∴b=

2-a2

，
則f(x)=x2+(b-

2-a2

)x+a+b=x²+a+b=x2+a+

2-a2

，
∴此函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標為a+

2-a2

，
設a=

2

sinx，則a+

2-a2

=

2

sinx+

2-2sin2x

=

2

sinx+

2

|cosx|，
若cosx≥0，則

2

sinx+

2

|cosx|=

2

sinx+

2

cosx=2sin(x+

π

4

)≤2，
若cosx＜0，則

2

sinx+

2

|cosx|=

2

sinx-

2

cosx=2sin(x-

π

4

)≤2，
綜上y軸交點的縱坐標的最大值為2．
故選：B．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質求出a，b的關系是解決本題的關鍵，利用換元法求函數(shù)的最值，綜合性較強．