Question

（1）化簡：

sin(2π-α)cos(π+α)cos( π 2 +α)cos( 11π 2 -α)

cos(π-α)sin(3π-α)sin(-π-α)sin( 9π 2 +α)

（2）已知tanθ+sinθ=a，tanθ-sinθ=b，求證：（a²-b²）²=16ab．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,運用誘導公式化簡求值

專題：三角函數的求值

分析：（1）利用三角函數的誘導公式化簡即可．
（2）首先將等式的左邊化簡為左邊=[（a+b）（a-b）]²=16tan²θsin²θ，然后將右邊化簡為右邊=16（tanθ+sinθ）（tanθ-sinθ）=16tan²θsin²θ．從而證明原式成立．

解答： 解：（1）

sin(2π-α)cos(π+α)cos( π 2 +α)cos( 11π 2 -α)

cos(π-α)sin(3π-α)sin(-π-α)sin( 9π 2 +α)

=

(-sinα)(-cosα)(-sinα)(-sinα)

(-cosα)sinαsinαcosα

=-tanα
（2）證明：左邊=（a²-b²）²
=[（a+b）（a-b）]²
=[（tanθ+sinθ+tanθ-sinθ）（tanθ+sinθ-tanθ+sinθ）]²
=16tan²θsin²θ
右邊=16ab
=16（tanθ+sinθ）（tanθ-sinθ）
=16（tan²θ-sin²θ）
=16(

sin2θ

cos2θ

-sin2θ)
=16•

sin2θ(1-cos2θ)

cos2θ

=16tan²θsin²θ
左邊=右邊
∴（a²-b²）²=16ab

點評：本題考查三角函數誘導公式，三角函數的恒等變換等知識，屬于中檔題．