Question

14、使得：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ＜2006成立的最大正整數n的值為

8

．

Answer 1

分析：令不等式左邊，即C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=t，根據C_n^m=C_n^n-m，得到t=C_n^n-1+2C_n^n-2+3C_n^n-3+…+（n-1）C_n¹+nC_nⁿ，兩式相加根據組合數的公式可得2t=n×2ⁿ+nC_nⁿ，進而得到此式子小于2006的2倍，驗證即可得到最大正整數n的值．

解答：解：由題意令t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，則有t=C_n^n-1+2C_n^n-2+3C_n^n-3+…+（n-1）C_n¹+nC_nⁿ，
則可得2t=n×2ⁿ+nC_nⁿ，
故n×2ⁿ+nC_nⁿ＜4012，
驗證知，最大的n是8
故答案為：8．

點評：本題考查組合及組合數公式，解題的關鍵是根據題設中的形式，利用倒序相加的方法對不等式的左邊進行化簡，此處考查到了二項式定理，本題較抽象，知識性強，解題時要注意公式與定理的使用．