Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由題意，當(dāng)時，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解函數(shù)的極值；

（Ⅱ）由，由，得或，分類討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）由（1）和（2），分當(dāng)和，分類討論，分別求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得出相應(yīng)的結(jié)論，進(jìn)而得到結(jié)論.

解：（Ⅰ）當(dāng)時：，令解得，

又因為當(dāng)，，函數(shù)為減函數(shù)；

當(dāng)，，函數(shù)為增函數(shù).

所以，的極小值為.

（Ⅱ）.當(dāng)時，由，得或.

(ⅰ)若，則.故在上單調(diào)遞增；

（ⅱ）若，則.故當(dāng)時，；

當(dāng)時，.

所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

(ⅲ)若，則.故當(dāng)時，；

當(dāng)時，.

所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（Ⅲ）（1）當(dāng)時，，令，得.

因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以此時在區(qū)間上有且只有一個零點.

（2）當(dāng)時：

（ⅰ）當(dāng)時，由（Ⅱ）可知在上單調(diào)遞增，且，，此時在區(qū)間上有且只有一個零點.

（ⅱ）當(dāng)時，由（Ⅱ）的單調(diào)性結(jié)合，又，

只需討論的符號：

當(dāng)時，，在區(qū)間上有且只有一個零點；

當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上無零點.

(ⅲ)當(dāng)時，由（Ⅱ）的單調(diào)性結(jié)合，，，此時在區(qū)間上有且只有一個零點.

綜上所述，.