Question

【題目】設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記 ，

其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．

（Ⅰ）若， ，求的值，并證明是等差數(shù)列；

（Ⅱ）證明：或者對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)， ；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）分別代入求，觀察規(guī)律，再證明當(dāng)時(shí)， ，所以關(guān)于單調(diào)遞減. 所以，從而得證；（Ⅱ）首先求的通項(xiàng)公式，分三種情況討論證明.

試題解析：（Ⅰ）

，

.

當(dāng)時(shí)， ，

所以關(guān)于單調(diào)遞減.

所以.

所以對(duì)任意，于是，

所以是等差數(shù)列.

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列和的公差分別為，則

.

所以

①當(dāng)時(shí)，取正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)， ，因此.

此時(shí)， 是等差數(shù)列.

②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，

此時(shí)， 是等差數(shù)列.

③當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，有.

所以

對(duì)任意正數(shù)，取正整數(shù)，

故當(dāng)時(shí)， .