Question

【題目】在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，菱形ABCD的邊長為2，且，點(diǎn)E、F分別是PA，CD的中點(diǎn)，

（1）求證：EF平面PBC

（2）若PC與平面ABCD所成角的大小為，求C到平面PBD的距離

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn),連接，由三角形中位線的性質(zhì)可證，即可證明平面平面，從而得證結(jié)論.

（2）將點(diǎn)到面的距離問題轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高的問題，利用等體積法即可得到答案.

（1）如圖取的中點(diǎn),連接,

因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是PA，CD的中點(diǎn)，

所以分別為和中位線，

所以,

又,

所以平面平面,所以平面

（2）連接交于點(diǎn),連接.

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為

因?yàn)榱庑?/span>ABCD的邊長為2，且，

所以，且為等邊三角形，

所以,且,

因?yàn)?/span>平面

所以即為直線與平面所成的角，

所以，所以,

又四邊形為菱形，所以,

所以,所以

又,

所以的面積為

所以

依題為三棱錐的高，

且的面積為，

所以三棱錐的體積為

,

又因?yàn)?/span>，所以，解得，

所以點(diǎn)到平面的距離為.