Question

11．已知正四棱錐O-ABCD的體積為54，底面邊長為$3\sqrt{2}$，則正四棱錐O-ABCD的外接球的表面積為100π．

Answer 1

分析 先畫出圖形，正四棱錐外接球的球心在它的高上，然后根據(jù)勾股定理解出球的半徑，最后根據(jù)球的面積公式解之即可．

解答 解：正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，
記球心為O，PO=AO=R，PO₁=1，OO₁=R-1，或OO₁=1-R（此時O在PO₁的延長線上），
∵正四棱錐O-ABCD的體積為54，底面邊長為$3\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{3}×（3\sqrt{2}）^{2}h$=54，
∴h=9，
在Rt△AO₁O中，R²=9+（R-9）²得R=5，∴球的表面積S=100π．
故答案為：100π．

點(diǎn)評 本題主要考查球的表面積，球的內(nèi)接體問題，考查計(jì)算能力和空間想象能力，屬于中檔題．