Question

如圖，PC⊥平面ABC，∠ACB=90°，D為AB中點，AC=BC=PC=2．

   （I）求證：AB⊥平面PCD；

   （II）求異面直線PD與BC所成的角的余弦值；

   （III）求點C到平面PAD的距離．

Answer 1

解法一：（I）因為PC⊥平面ABC，AB平面ABC，所以PC⊥AB．

    △ABC中，AC=BC，且D為AB中點，所以CD⊥AB．

又PC∩CD=C，所以AB⊥平面PCD．

   （II）如圖，取AC中點E，連結DE、PE，則DE∥BC，

    所以∠PDE(或其補角)為異面直線PD與BC所成的角．

因為BC∥DE，AC⊥BC，所以AC⊥DE；

又PC⊥平面ABC，DE平面ABC，所以PC⊥DE，

因為AC∩PC=C，所以DE⊥平面PAC，

因為PEC平面PAC，所以DE⊥PE．

在Rt△ABC中，因為AC=BC=2，所以AB=2

在Rt△PCD中，因為PC=2，CD=AB=，

所以PD=．

在Rt△PDE中，因為DE=BC=1．所以cos∠PDE=

即異面直線PD與BC所成的角的余弦值為.

   （III）如圖，過C作CF⊥PD交PD于F

因為AB⊥平面PCD，CF平面PCD，所以AD⊥CF．

    因為AD∩PD=D，

    所以CF⊥平面PAD．

在Rt△PCD中，CF==．

    所以點C到平面PAD的距離是．

解法二：如圖，以C為原點，分別以直線CA、CB、CP為x、y、z軸建立空間直角坐標系．

則C(O，0，O)，A(2，0，0)，B(O，2，0)，P(O，0，2)，所以AB中點D(1，1，0)．

   （I）因為=(-2，2，0)，=(1，1，0)，=(0，0，2)．

    所以?= -2×1 + 2×1 + 0×0 = 0，    ?= -2×0 + 2×0 + 0×0 = 0，

    所以⊥，⊥．又CD∩CP=C，

所以AB⊥平面PCD．

   （II）=(1，1，-2)，=(0，2，0)．

所以cos(，)=

即異面直線PD與BC所成的角的余弦值為．

   （III）設平面PAD的法向量為n=(x,y,z)．因為=(2，0，-2).

則由得

取x=1，得n=(1,1,1)是平面PAD的一個法向量

又=(0，0，2)，

所以點C到平面PAD的距離

解法三：（Ⅰ）、（Ⅱ）同解法一．

   （III）設點C到平面PAD的距離為h，由（Ⅰ）AB⊥平面PCD，

因為CD⊥AD，由三垂線定理，可得AD⊥PD，

又AD=,PD=，CD=，

所以S_△PAD=?AD ?PD=

S_△ACD=?AD?CD=1．

由V_C-PAD=V_P-ACD,得?h?S_△PAD=?PC?S_△ACD

即h?=×2×1，

解得h=

所以點C到平面PAD的距離是.