Question

17．在三棱柱PBC-QAD中，側(cè)面ABCD為矩形，PA⊥CD．
（1）求證：平面PAD⊥平面PDC；
（2）若BC=$\sqrt{6}$，PB=$\sqrt{2}$，PC=2，當(dāng)三棱錐P-BCD的體積最大時(shí)，求二面角A-BP-C的大�。�

Answer 1

分析 （1）先證明CD⊥平面PAD，再證明平面PAD⊥平面PDC；
（2）根據(jù)條件得到棱錐P-BCD的體積最大時(shí)的等價(jià)條件，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 （1）證明：∵側(cè)面ABCD為矩形，∴CD⊥AD，
∵PA⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC；
（2）過(guò)P作AD的垂線，垂足為O，過(guò)O作BC垂線，垂足為G，
連接PG，由（1）知，CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PO，
∵PO⊥AD，CD∩AD=D，
∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BC，
∵OG⊥BC，PO∩OG=O，
∴BC⊥平面POG，故BC⊥PG，
在△PBC中，BC=$\sqrt{6}$，PB=$\sqrt{2}$，PC=2，∴BP⊥PC，
∴PG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，GC=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，BG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，設(shè)AB=x，
則OP=$\sqrt{P{G}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}-{x}^{2}}$，
故三棱錐P-BCD的體積S_△PBC=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
三棱錐P-BCD的體積V_P-BCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×\sqrt{6}x×\sqrt{\frac{4}{3}-{x}^{2}}$=$\frac{x\sqrt{8-6{x}^{2}}}{6}$=$\frac{\sqrt{8{x}^{2}-6{x}^{4}}}{6}=\frac{\sqrt{-6（{x}^{2}-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{8}{3}}}{6}$，
∴當(dāng)x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即AB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$時(shí)，三棱錐P-BCD的體積最大，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則O（0，0，0），B（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0），C（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，0），A（0，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0），
P（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
故$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（0，$\sqrt{6}$，0），$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0，0），
設(shè)平面BPC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，1），則由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{PB}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{6}}{3}x-\frac{\sqrt{6}}{3}y-\frac{\sqrt{6}}{3}=0}\\{\sqrt{6}y=0}\end{array}\right.$得x=1，y=0，即$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
同理得平面APB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，-1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}=-$$\frac{1}{2}$，
即＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2π}{3}$，
即二面角A-BP-C的大小為$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、平面與平面垂直，考查平面與平面的夾角，考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．