Question

12．如圖，有一塊拋物線形鋼板，其下口寬為2米，高為2米．計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是拋物線的下口，上底CD的端點在拋物線上．
（Ⅰ）請建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拋物線形鋼板所在拋物線方程；
（Ⅱ）記CD=2x，寫出梯形面積S以x為自變量的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；
（Ⅲ）求面積S的最大值．

Answer 1

分析 （I）以拋物線定點為原點建立坐標(biāo)系，使用待定系數(shù)法求出解析式；
（II）設(shè)梯形高為h，用x，h表示出C點坐標(biāo)，代入解析式得出x，h的關(guān)系，代入梯形面積公式即可；
（III）利用導(dǎo)數(shù)判斷S（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出最值．

解答 解：（I）如圖，建立直角坐標(biāo)系xoy，使拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，且拋物線的對稱軸在y軸上．
則A（-1，-2 ），B（1，-2），
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=2py（p＜0）．
∵點B在拋物線上，∴1²=2p•（-2）求得p=-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的方程為：${x^2}=-\frac{1}{2}y$．
（II）設(shè)梯形的高為 h，∵CD=2 x   則 C（x，-2+h ）．
又點C在拋物線上，∴${x^2}=-\frac{1}{2}（-2+h）$，解得 h=-2x²+2．
∴S（x）=$\frac{1}{2}（2+2x）（-2{x^2}+2）$=2（-x³-x²+x+1）．
定義域為（0，1）．
（III）∵S（x）=2（-x³-x²+x+1）．
∴S′（x）=2（-3x²-2x+1）=-2（3x-1）（x+1）．
令S′（x）=0，解得x=-1（舍）或x=$\frac{1}{3}$．
當(dāng)0$＜x＜\frac{1}{3}$時，S′（x）＞0，當(dāng)$\frac{1}{3}＜x＜1$時，S′（x）＜0，
∴S（x）在$（0，\frac{1}{3}）$上為增函數(shù)，$（\frac{1}{3}，1）$上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時，面積S取得最大值$S{（\frac{1}{3}）_{max}}$=$\frac{64}{27}$．
答：梯形的面積S的最大值為$\frac{64}{27}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求曲線方程，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，屬于中檔題．