Question

設(shè)，函數(shù)。

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對(duì)任意，不等式恒成立，求a的最大值；

（Ⅲ）若方程存在三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍。

Answer 1

（I）解：

，解得，或；令，解得.

從而的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.

                                                              …………3分

（II）解：

由.                                …………4分

由（I）得，函數(shù)在，在內(nèi)單調(diào)遞減，

從而當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.             …………6分

因?yàn)閷?duì)于任意，不等于恒成立，

故，即，

從而的最大值是.                                          …………8分

（III）解：

當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

①由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)時(shí)，解方程，得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)時(shí)，解方程，得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.

如果方程存在三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則  解得.

                                                            …………12分

事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，

，且，

所以方程在內(nèi)各有一根.

綜上，若方程存在三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是.……14分