Question

設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)有成立．
（1）證明是周期函數(shù)，并指出其周期；
（2）若，求的值；
（3）若，且是偶函數(shù)，求實數(shù)的值．

Answer 1

（1）；（2）-2；（3）.

解析試題分析：（1）由可得 ，由是定義在R上的奇函數(shù)得 ，故 ; （2）根據(jù)奇偶性和 得 ， ；（3）可證明是偶函數(shù)，由是偶函數(shù)，得為偶函數(shù)，故.
試題解析：（1）由，且知
，所以是周期函數(shù)，且是其一個周期．
（2）因為為定義在R上的奇函數(shù)，所以，且，又是的一個周期，所以；
（3）因為是偶函數(shù)，且可證明是偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，即恒成立．
于是恒成立，于是恒成立，
所以為所求．
考點：1.函數(shù)的奇偶性；2.函數(shù)的周期性.