Question

【題目】已知拋物線(xiàn)C：x2＝2y，過(guò)點(diǎn)(0，2)作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn).

（1）證明：OA⊥OB；

（2）若直線(xiàn)l的斜率為1，過(guò)點(diǎn)A、B分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)l1，l2，若直線(xiàn)l1，l2，相交于點(diǎn)P，直線(xiàn)l1，l2交x軸分別于點(diǎn)M，N，求△MNP的外接圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）設(shè)直線(xiàn)：，設(shè)，，聯(lián)立方程得到，，故，得到證明.

（2）求導(dǎo)得到，得到切線(xiàn)方程和，計(jì)算點(diǎn)，設(shè)的外接圓的方程為：，計(jì)算得到，，，得到答案.

（1）顯然直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)：，設(shè)，

聯(lián)立得，

，，，

，.

（2），，，

切線(xiàn)：即，同理可得切線(xiàn)：.

令，則，，聯(lián)立得點(diǎn)，

設(shè)的外接圓的方程為：，令，則.

由韋達(dá)定理可得，，

，且，，

則圓的方程為：，即.