Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）設(shè)，求.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）可采用作差法由an=Sn﹣Sn﹣1求得an=2an﹣1+2n﹣1，再由bn，表示出bn+1﹣bn，故得證數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；

（2）由（1）所求bn通項(xiàng)公式反解出an=(n+2)2n﹣1，化簡(jiǎn)得Sn= (n+1)2n﹣1，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可求解；

（1）Sn=2an﹣2n﹣1，可得a1=S1=2a1﹣2﹣1，即有a1=3， n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2n﹣1﹣2an﹣1+2n﹣1+1，可得an=2an﹣1+2n﹣1，由bn，可得bn+1﹣bn，

則數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；

（2）由（1）可得bn(n﹣1)，即an=(n+2)2n﹣1， Sn=2an﹣2n﹣1=(n+1)2n﹣1， Tn=S1+S2+…+Sn=22+34+48+…+(n+1)2n﹣n， 2Tn=24+38+416+…+(n+1)2n+1﹣2n，相減可得﹣Tn=4+4+8+16+…+2n﹣(n+1)2n+1+n=2(n+1)2n+1+n，化簡(jiǎn)可得Tn=n2n+1﹣n.