Question

【題目】（1）如圖，對于任一給定的四面體，找出依次排列的四個相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；

（2）給定依次排列的四個相互平行的平面，，，，其中每相鄰兩個平面間的距離為1，若一個正四面體的四個頂點(diǎn)滿足：，求該正四面體的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意要作出相互平行且相鄰距離相等的平面，所以先作直線平行，且取等分點(diǎn)，例如可取的三等分點(diǎn)，，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則有，，從而可得面面平行；

（2）先將正四面體補(bǔ)形為正方體，結(jié)合條件確定正方體的棱長，即可求正四面體的體積．

（1）

取的三等分點(diǎn)，，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，

過三點(diǎn)，，作平面，過三點(diǎn)，，作平面，

因?yàn)?/span>，，所以平面平面，

再過點(diǎn)，分別作平面，與平面平行，那么四個平面，，，依次相互平行，

由線段被平行平面，，，截得的線段相等知，每相鄰兩個平面間的距離相等，故，，，為所求平面．

（2）如圖，將此正四面體補(bǔ)形為正方體（如圖），

分別取、、、的中點(diǎn)、、、，

平面與是分別過點(diǎn)、的兩平行平面，若其距離為1，

則正四面體滿足條件，右圖為正方體的下底面，設(shè)正方體的棱長為，

若，因?yàn)?/span>，，

在直角三角形中，，所以，所以，

又正四面體的棱長為，

所以此正四面體的體積為．