Question

如圖，橢圓的右焦點(diǎn)F₂與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，過F₂作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S，T，而與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，且．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若過m（2，0）的直線與橢圓E相交于兩點(diǎn)A和B，設(shè)P為橢圓E上一點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由焦點(diǎn)F₂（1，0），過F₂作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S，T，而與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，且，知|CD|=4，|ST|=，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)過m（2，0）的直線為y=k（x-2），由，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），，由此結(jié)合題設(shè)條件能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解答：解：（1）∵橢圓的右焦點(diǎn)F₂與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，
∴焦點(diǎn)F₂（1，0），
∵過F₂作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S，T，而與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，且．
∴|CD|=4，解得|ST|=，
∴a=，b=1，c=1，
∴橢圓E的方程是．
（2）設(shè)過m（2，0）的直線為y=k（x-2），
由，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），，
則，
2=+2=，
∴，
∵△=（8k²）²-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
∴0≤2k²＜1，
=1-，
∴t∈（-2，2）．
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．