Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（1）求證{a_n+1}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（3）若{b_n}滿足b_n=$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n+1}（{a}_{n+1}-1）}$，設(shè){b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-n（n∈N^*），可得：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-1，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，變形為a_n+1=2（a_n-1+1），即可證明．
（2）由（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n=2ⁿ-1．
（3）b_n=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n+1}-1）（{2}^{n+1}-2）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂項(xiàng)求和”與“放縮法”即可得出．

解答 （1）證明：∵S_n=2a_n-n（n∈N^*），∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-n）-[2a_n-1-（n-1）]，化為a_n+1=2（a_n-1+1），
∴{a_n+1}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
（2）解：由（1）可得：1+${a}_{n}=2×{2}^{n-1}$=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（3）證明：b_n=$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n+1}（{a}_{n+1}-1）}$=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n+1}-1）（{2}^{n+1}-2）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＜1，
∴T_n＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”與“放縮法”、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．