Question

2．如圖，已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，兩條準線之間的距離為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．B，C分別為橢圓M的上、下頂點，過點T（t，2）（t≠0）的直線TB，TC分別與橢圓M交于E，F兩點．
（1）求橢圓M的標準方程；
（2）若△TBC的面積是△TEF的面積的k倍，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式和準線方程，結合橢圓的a，b，c的關系，計算即可得到；
（2）分別求出直線PB，TC的方程，代入橢圓方程，求得交點E，F的橫坐標，再由三角形的面積公式，結合二次函數，計算即可得到最大值．

解答 解：（1）由題意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{2{a}^{2}}{c}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由B（0，1），C（0，-1），T（t，2），
則直線TB：y=$\frac{1}{t}$x+1，代入橢圓方程可得，（1+$\frac{4}{{t}^{2}}$）x²+$\frac{8}{t}$x=0，
解得x_E=$\frac{-8t}{4+{t}^{2}}$，
直線TC：y=$\frac{3}{t}$x-1，代入橢圓方程可得x_F=$\frac{24t}{36+{t}^{2}}$，
k=$\frac{{S}_{△TBC}}{{S}_{△TEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}TB•TC•sin∠BTC}{\frac{1}{2}TE•TF•sin∠ETF}$=$\frac{TB•TC}{TE•TF}$=$\frac{{x}_{T}-{x}_{B}}{{x}_{T}-{x}_{E}}$•$\frac{{x}_{T}-{x}_{C}}{{x}_{T}-{x}_{F}}$=$\frac{t}{t+\frac{8t}{4+{t}^{2}}}$•$\frac{t}{1-\frac{24t}{36+{t}^{2}}}$
=$\frac{（{t}^{2}+4）（{t}^{2}+36）}{（{t}^{2}+12）（{t}^{2}+12）}$，
令t²+12=m＞12，則k=$\frac{（m-8）（m+24）}{{m}^{2}}$=1+$\frac{16}{m}$-$\frac{192}{{m}^{2}}$≤$\frac{4}{3}$，
當且僅當m=24，即t=±2$\sqrt{3}$時，取得“=”，
所以k的最大值為$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，聯立直線方程和橢圓方程，求得交點，同時考查三角形的面積公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．