Question

13．在△AOB中，已知∠AOB=$\frac{π}{2}$，∠BAO=$\frac{π}{6}$，AB=4，D為線段AB的中點(diǎn)，△AOC是由△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成，記二面角B-AO-C的大小為θ．
（1）當(dāng)平面COD⊥平面AOB時(shí)，求θ的值；
（2）當(dāng)θ=$\frac{2}{3}$π時(shí)，求二面角B-OD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在平面AOB內(nèi)過(guò)B作OD的垂線，垂足為H，證明BH⊥平面COD，可得BH⊥CO，再由OC⊥AO，BH和OA相交，可得OC⊥平面AOB，從而證明OC⊥OB；
（2）在平面BOC中，過(guò)O作Ox⊥Oy，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面OCD的一個(gè)法向量，由圖直接得到平面BOD的一個(gè)法向量，然后利用兩平面法向量所成角的余弦值求得二面角B-OD-C的余弦值．

解答 解：（1）如圖，

在平面AOB內(nèi)過(guò)B作OD的垂線，垂足為H，
∵平面COD⊥平面AOB，平面COD∩平面AOB=OD，
又BH⊥OD，BH⊥平面AOB，
則BH⊥平面COD．
又由OC?平面COD，BH⊥CO，
又∵OC⊥AO，BH和OA相交，
∴OC⊥平面AOB．
又OB?平面AOB，從而OC⊥OB，即θ=$\frac{π}{2}$；
（2）在平面BOC中，過(guò)O作Ox⊥Oy，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，
則O（0，0，0），D（0，1，2），
∵θ=$\frac{2}{3}$π，求得：C（$\sqrt{3}$，-1，0），
設(shè)平面OCD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{y+2z=0}\\{\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{3}$，得y=3，z=-$\frac{3}{2}$．
∴$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，3，-\frac{3}{2}）$．
又平面OBD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}=（1，0，0）$，
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}+（-\frac{3}{2}）^{2}}×1}=\frac{2\sqrt{171}}{57}$．
∴二面角B-OD-C的余弦值為-$\frac{2\sqrt{171}}{57}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何問(wèn)題，平面與平面垂直的性質(zhì)，考查利用空間向量求二面角的平面角，屬于中檔題．