Question

8．已知a、b、c∈R₊，證明1＜$\frac{a}{a+b}$+$\frac{b+c}$+$\frac{c}{c+a}$＜2．

Answer 1

分析 從不等式的特征看，問題是如何把中間三項(xiàng)通過放縮使它們分母相同，以便進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而獲得證明．

解答 證明：∵a、b、c∈R₊，
∴$\frac{a}{a+b}$+$\frac{b+c}$+$\frac{c}{c+a}$＞$\frac{a}{a+b+c}$+$\frac{a+b+c}$+$\frac{c}{a+b+c}$=1，
$\frac{a}{a+b}$+$\frac{b+c}$+$\frac{c}{c+a}$＜$\frac{a+c}{a+b+c}$+$\frac{a+b}{a+b+c}$+$\frac{b+c}{a+b+c}$=2，
∴1＜$\frac{a}{a+b}$+$\frac{b+c}$+$\frac{c}{c+a}$＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查放縮法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確放縮是關(guān)鍵．