Question

【題目】如圖所示，在三棱錐中，底面，，，，為的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若二面角的大小為，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）由余弦定理求出BC，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，得BD＝CD，因?yàn)?/span>，平方求出AD，利用勾股定理得AB⊥AD，結(jié)合PA⊥AD，得AD⊥平面PAB，從而AD⊥PB得證．

（2）分別以直線AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝a，求出平面PBC的法向量，平面PAB的法向量，利用向量法求出a，然后求解VP﹣ABC＝×S△ABC×PA即可．

（1）在中，由余弦定理得，則．

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，則．

因?yàn)?/span>，則

，所以．

因?yàn)?/span>，則．

因?yàn)?/span>底面，則，所以平面，從而．

（2）分別以直線，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

設(shè)，則點(diǎn)，，，所以，．

設(shè)平面的法向量為，則，即，

取，則，，所以．

因?yàn)?/span>為平面的法向量，

則，即．

所以，解得，所以．

所以．