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三棱錐P－ABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝，求三棱錐P－ABC的體積．

答案：
解析：

　　解法1:如圖，設(shè)P在底面的射影為O，依題意計算得△PAB中AB邊上的高PE＝，進而求得PO＝，∴．

　　解法2:取AB，AC的中點M，N，則三棱錐P－AMN是棱長為a的正四面體，∴．從而．

　　解法3:延長AP至Q，使AQ＝2a，連結(jié)QB，QC，則Q－ABC是棱長為2a的正四面體，

　　∴＝，∴＝．

　　解法4:在△ABC中，∵PA＝a，AB＝2a，∠PAB＝，由余弦定理得PB＝，∴∠APB＝，同理∠APC＝，∴AP⊥平面PBC，∵，∴＝＝．


提示：

注:多角度、多方位地審視本題條件，從而運用“換底法”、“切割法”、“補形法”等不同的方法解答了本題，培養(yǎng)和訓(xùn)練了發(fā)散思維能力．


練習(xí)冊系列答案
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如圖，在三棱錐P－ABC中，點O、D分別是AC、PC的中點，

求證：OD∥平面PAB．

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本小題滿分12分）

已知三棱錐P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，

N為AB上一點，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點．

(I)證明：CM⊥SN；(II)求SN與平面CMN所成角的大�。�

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：新課標高三數(shù)學(xué)直線、平面、簡單幾何體專項訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M為AB的中點，四點P、A、M、C都在球O的球面上．

(1)證明：平面PAB⊥平面PCM；

(2)證明：線段PC的中點為球O的球心

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.

（Ⅰ）證明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年廣東省山一高二上學(xué)期第二次月考理科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（14分）

已知三棱錐P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.

（Ⅰ）證明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小。

 

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