Question

已知.
（1）求的極值，并證明：若有；
（2）設(shè)，且，，證明：，
若，由上述結(jié)論猜想一個(gè)一般性結(jié)論（不需要證明）；
（3）證明：若，則.

Answer 1

(1)詳見(jiàn)解析；(2) 詳見(jiàn)解析；(3) 詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：(1)利用求導(dǎo)探求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定其極值；借助結(jié)論時(shí)恒成立，證明；（2）借助第一問(wèn)的結(jié)論，通過(guò)拼湊技巧進(jìn)行構(gòu)造要證明的不等式；（3）借助第二問(wèn)的猜想結(jié)論，進(jìn)行構(gòu)造，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)整理即可得到證明的結(jié)論.
試題解析：（1）則
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，x∈（1，＋∞）時(shí)，
∴在（0，1）遞增，在（1，＋∞）遞減，
                                              2分
∴當(dāng)時(shí)恒成立，即時(shí)恒成立。
∴         4分
證明：，
（2）證明：設(shè)，且，令，則，且
，，
由（1）可知   ①
              ②
①+②，得

∴      8分
猜想：若，且時(shí)有
       9分
（3）證明：令
由猜想結(jié)論得

=
∴，
即有。                   14分
考點(diǎn)：(1)函數(shù)的極值；（2）不等式的證明.