Question

16．等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₆=-5，S₁₀=15，數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n項(xiàng)和為 S_n=$\frac{7}{24}{n}^{2}$-$\frac{97}{24}n$．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由于S₆=-5，S₁₀=15，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得a₁與公差d，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵S₆=-5，S₁₀=15，
∴$6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}×d$=-5，$10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d$=15，
解得a₁=$-\frac{15}{4}$，d=$\frac{7}{6}$．
∴S_n=$-\frac{15}{4}n$+$\frac{n（n-1）}{2}×\frac{7}{6}$=$\frac{7}{12}{n}^{2}$-$\frac{13}{3}n$．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{7}{12}n-\frac{13}{3}$，
∴數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為$-\frac{15}{4}$，公差為$\frac{7}{12}$．
∴數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n項(xiàng)和=$\frac{n（-\frac{15}{4}+\frac{7}{12}n-\frac{13}{3}）}{2}$=$\frac{7}{24}{n}^{2}$-$\frac{97}{24}n$．
故答案為：S_n=$\frac{7}{24}{n}^{2}$-$\frac{97}{24}n$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．