Question

11．如圖，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是等腰直角三角形，其中∠EBC=$\frac{π}{2}$，且AB=BC=2CD=2．
（1）在線段BE上是否存在一點(diǎn)F，使CF∥平面ADE？
（2）求線段AB上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)B到面CEM的距離等于1？如果不存在，請說明理由由．

Answer 1

分析 （1）可分別取線段BE，AB的中點(diǎn)為F，G，連接CF，F(xiàn)G，CG，可以證明FG∥平面ADE，CG∥平面ADE，從而得出平面CFG∥平面ADE，這便可得出CF∥平面ADE；
（2）可分別以BE，BC，BA三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，這樣即可確定點(diǎn)B，C，E的坐標(biāo)，可過B作BB′⊥平CEM，垂足為B′，并設(shè)B′（x，y，z），這樣根據(jù)$\overrightarrow{BB′}⊥\overrightarrow{EB′}，\overrightarrow{BB′}⊥\overrightarrow{CB′}$，以及$|\overrightarrow{BB′}|=1$便可得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2y+{z}^{2}=0}\\{{x}^{2}-2x+{y}^{2}+{z}^{2}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1}\end{array}\right.$，這樣解出x，y，z，從而得到$\overrightarrow{BB′}$的坐標(biāo)，可設(shè)在線段AB上存在M，使得點(diǎn)B到面CEM的距離等于1，從而根據(jù)$\overrightarrow{BB′}⊥\overrightarrow{MB′}$，便得到$\overrightarrow{BB′}•\overrightarrow{MB′}=0$，這樣即可求出m，也就找到了滿足條件的M．

解答 解：（1）在線段BE上存在點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，使CF∥平面ADE，證明如下：
如圖，取BE中點(diǎn)F，AB的中點(diǎn)G，連接CF，F(xiàn)G，CG，則：
FG∥AE，AE?平面ADE，F(xiàn)G?平面ADE；
∴FG∥平面ADE；
同理，CD∥AB，G為AB中點(diǎn)；
∴CG∥AD；
∴CG∥平面ADE，F(xiàn)G∩CG=G；
∴平面CFG∥平面ADE，CF?平面CFG；
∴CF∥平面ADE；
（2）根據(jù)條件知BE，BC，BA三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則：
B（0，0，0），C（0，2，0），E（2，0，0）；
假設(shè)在線段AB存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)B到面CEM的距離等于1，設(shè)M（0，0，m），0≤m≤2；
過B作BB′⊥平面CEM，垂足為B′，設(shè)B′（x，y，z）則：$\overrightarrow{BB′}=（x，y，z），\overrightarrow{CB′}=（x，y-2，z）$，$\overrightarrow{EB′}=（x-2，y，z）$，$\overrightarrow{MB′}=（x，y，z-m）$；
且$\overrightarrow{BB′}⊥\overrightarrow{CB′}，\overrightarrow{BB′}⊥\overrightarrow{EB′}，\overrightarrow{BB′}⊥\overrightarrow{MB′}$；
又$|\overrightarrow{BB′}|=1$；
∴得到$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BB′}•\overrightarrow{CB′}={x}^{2}+{y}^{2}-2y+{z}^{2}=0}\\{\overrightarrow{BB′}•\overrightarrow{EB′}={x}^{2}-2x+{y}^{2}+{z}^{2}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1}\end{array}\right.$；
解得$x=\frac{1}{2}，y=\frac{1}{2}，z=\frac{1}{\sqrt{2}}$；
∴$B′（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{\sqrt{2}}）$；
∴$\overrightarrow{BB′}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{\sqrt{2}}），\overrightarrow{MB′}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{\sqrt{2}}-m）$；
∴$\overrightarrow{BB′}•\overrightarrow{B′M}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{m}{\sqrt{2}}=0$；
∴$m=\sqrt{2}$；
∴在線段AB上存在點(diǎn)M，$BM=\sqrt{2}$時(shí)，點(diǎn)B到面CEM的距離等于1．

點(diǎn)評 考查三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的定義，以及線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決立體幾何問題的方法，線面垂直的定義，兩向量垂直的充要條件．