Question

2．已知異面直線a，b成60°角，A為空間中一點(diǎn)，則過(guò)A與a，b都成45°角的平面（　�。�

• A． 有且只有一個(gè)
• B． 有且只有兩個(gè)
• C． 有且只有三個(gè)
• D． 有且只有四個(gè)

Answer 1

分析 已知平面過(guò)A，再知道它的方向，就可以確定該平面了，因?yàn)樯婕暗狡矫娴姆较�，我們考慮它的法線，并且假設(shè)a，b為相交直線也沒(méi)關(guān)系，于是原題簡(jiǎn)化為：已知兩條相交直線a，b成60°角，求空間與a，b都成45°角的直線．

解答 解：已知平面過(guò)A，再知道它的方向，就可以確定該平面了
∵涉及到平面的方向，我們考慮它的法線，并且假設(shè)a，b為相交直線也沒(méi)關(guān)系，
∴原題簡(jiǎn)化為：已知兩條相交直線a，b成60°角，求空間與a，b都成45°角的直線．
過(guò)P作a′∥a，b′∥b，設(shè)直線a′、b′確定的平面為α，
∵異面直線a、b成60°角，∴直線a′、b′確所成銳角為60°
①當(dāng)直線l在平面α內(nèi)時(shí)，若直線l平分直線a′、b′確所成的鈍角，
則直線l與a、b都成60°角，不成立；
②當(dāng)直線l與平面α斜交時(shí)，若它在平面α內(nèi)的射影恰好落在
直線a′、b′確所成的銳角平分線上時(shí)，直線l與a、b所成角相等．
此時(shí)l與a'、b'所成角的范圍為[30°，90°]，
適當(dāng)調(diào)整l的位置，可使直線l與a、b也都成45°角，這樣的直線l有兩條．
綜上所述，過(guò)點(diǎn)P與a′、b′確都成45°角的直線，可以作2條．
∴過(guò)A與a，b都成45°角的平面有且只有2個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的平面?zhèn)�數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．