Question

【題目】如圖，四邊形為矩形，，，為線段上的動點．

（1）若為線段的中點，求證：平面；

（2）若三棱錐的體積記為，四棱錐的體積記為，當時，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接，，記它們的交點為，連接，利用中位線可得，再利用線面平行的判定定理可證.

（2）設(shè)，取中點，利用三棱錐的體積公式和，可得，再建立空間直角坐標系，利用向量可得二面角的余弦值.

（1）連接，，記它們的交點為，連接

因為四邊形為矩形，∴為中點，

又為線段的中點，∴，

而平面，平面

∴平面．

（2）∵矩形，∴，

又，∴，，∴平面，

設(shè)，取中點，

因為是等邊三角形，∴，

又因為平面，

∴，，∴平面，且，

設(shè)三棱錐的高為，則，∴，

由得，解得，

由題意，如圖以點為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，，

∵，∴，

易知平面的一個法向量為，

設(shè)平面的法向量為，

則

令則得平面的一個法向量，

因為二面角為銳角二面角，

所以二面角的余弦值為．