Question

18．已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n-a₁=2$\sqrt{{S}_{n-1}{a}_{1}}$（n≥2），若b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，則b_n=$\frac{8{n}^{2}+2}{4{n}^{2}-1}$．

Answer 1

分析 把已知數列遞推式兩邊平方，取n=n+1得另一遞推式，作差后可得數列{a_n}是以2a₁為公差的等差數列，求出其通項公式，代入b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$得答案．

解答 解：由a_n-a₁=2$\sqrt{{S}_{n-1}{a}_{1}}$（n≥2），得
$（{a}_{n}-{a}_{1}）^{2}=4{S}_{n-1}{a}_{1}$（n≥2），
∴$（{a}_{n+1}-{a}_{1}）^{2}=4{S}_{n}{a}_{1}$，
兩式作差得：（a_n+1-a₁-a_n+a₁）（a_n+1-a₁+a_n-a₁）=4a₁a_n，
整理得：（a_n+1-a_n-2a₁）（a_n+1+a_n）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2a₁，
即數列{a_n}是以2a₁為公差的等差數列，
則a_n=a₁+2a₁（n-1）=2na₁-a₁，
∴a_n+1=2na₁+a₁，
則b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2n+1}{2n-1}+\frac{2n-1}{2n+1}=\frac{（2n+1）^{2}+（2n-1）^{2}}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{8{n}^{2}+2}{4{n}^{2}-1}$．
故答案為：$\frac{8{n}^{2}+2}{4{n}^{2}-1}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了等差數列通項公式的求法，是中檔題．