Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=2，EF=1．
（Ⅰ）若點M在線段AC上，且滿足CM=

1

4

CA，求證：EM∥平面FBC；
（Ⅱ）求證：AF⊥平面EBC；
（Ⅲ）求二面角A-FB-D的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,用空間向量求平面間的夾角

專題：空間角,空間向量及應用

分析：（I）過M作MN⊥BC，垂足為N，連結FN，則MN∥AB，又可得EF∥MN，從而四邊形EFNM為平行四邊形，所以EM∥FN，最后根據(jù)線面平行的判定定理，即可得到EM∥平面FBC；
（Ⅱ）先利用線面垂直的性質和勾股定理證出BC⊥AF，EB⊥AF，從而證出AF⊥平面EBC；
（Ⅲ）建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）過M作MN⊥BC，垂足為N，連結FN，
則MN∥AB．
又∵CM=

1

4

AC，
∴MN=

1

4

AB．
又∵EF∥AB且EF=

1

4

AB，
∴EF∥MN．且EF=MN．
∴四邊形EFNM為平行四邊形．
∴EM∥FN．
又FN?平面FBC，EM?平面FBC，
∴EM∥平面FBC．
（Ⅱ）∵EF∥AB，
∴EF與AB可確定平面EABF，
∵EA⊥平面ABCD，
∴EA⊥BC．
由已知得AB⊥BC且EA∩AB=A，
∴BC⊥平面EABF．
又AF?平面EABF，
∴BC⊥AF．
在四邊形ABFE中，AB=4，AE=2，EF=1，∠BAE=∠AEF=90°
設AF∩BE=P，
∵∠PAE+∠PAB=90°，
∴∠PBA+∠PAB=90°
則∠APB=90°，
∴EB⊥AF．
又∵EB∩BC=B，
∴AF⊥平面EBC．
（Ⅲ）以AB為x軸，AD為y軸，AE為z軸建立空間直角坐標系，
則B（4，0，0），D（0，4，0），F(xiàn)（1，0，2）．
∴

BD

=(-4，4，0)，

BF

=(1，-4，2)
設平面BDF的法向量為

m

（a，b，c），
則

m • BD =0 m • BF =0

，
解得：

m

=(2，2，-1)．
同理可得，平面AFB的法向量為

n

=（0，1，0），
∴二面角A-FB-D=＜

m

，

n

＞，
∴二面角A-FB-D的余弦值為cos（π-＜

m

，

n

＞）=cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2

3×1

=

2

3

．

點評：本題主要考查線面平行的判定定理及線面垂直的性質，考查二面角的求法，考查法向量的應用，是一個綜合題目，題目的運算量不大，理解相關定理的內容是解決該類題目的基礎．