Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任何正整數(shù)n有

1

3

+

1

15

+

1

35

+

1

63

+…+

1

4n2-1

=

n

2n+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專(zhuān)題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，易證等式成立；②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N^*）時(shí)等式成立，即

1

3

+

1

15

+

1

35

+

1

63

+…+

1

4k2-1

=

k

2k+1

，用上該歸納假設(shè)，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答： 證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

1

3

，右邊=

1

2+1

=

1

3

，
∴等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N^*）時(shí)等式成立，即

1

3

+

1

15

+

1

35

+

1

63

+…+

1

4k2-1

=

k

2k+1

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，

1

3

+

1

15

+

1

35

+

1

63

+…+

1

4k2-1

+

1

4(k+1)2-1

=

k

2k+1

+

1

4(k+1)2-1

=

k

2k+1

+

1

(2k+3)(2k+1)

=

2k2+3k+1

(2k+3)(2k+1)

=

(k+1)(2k+1)

(2k+3)(2k+1)

=

k+1

2(k+1)+1

．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立．
由①②知等式對(duì)任何正整數(shù)n都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，著重考查推理、變形與論證能力，屬于中檔題．