Question

已知數列{a_n}中，a₁=3，前n項的和是S_n滿足：?n∈N^*都有：S_n=

1

2

（n+

2015

+b_n）³-1，其中數列{b_n}是公差為1的等差數列；
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=

12

an-4

，求T_n=c₁+c₂+…+c_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據已知條件及a₁=S₁即可求出b₁=1-

2015

，所以bn=n-

2015

，代入已知的S_n即得Sn=4n3-1，所以n＞1時，an=Sn-Sn-1=4(3n2-3n+1)，并且驗證n=1時是否符合通項a_n，即可得出數列{a_n}的通項公式：an=

3 n=1 4(3n2-3n+1) n＞1

；
（Ⅱ）根據已知的c_n可先求出c₁=-12，然后求出n＞1時的cn=

1

n-1

-

1

n

，所以求出Tn=c1+c2+…+cn=-11-

1

n

，并且驗證n=1是否符合即可得出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由已知條件知：3=S1=

1

2

(1+

2015

+b1)3-1，
∴解得b1=1-

2015

；
∵數列{b_n}是公差為1的等差數列，
∴bn=1-

2015

+n-1=n-

2015

，
∴Sn=

1

2

(2n)3-1=4n3-1；
∴當n＞1時，an=Sn-Sn-1=4n3-1-4(n-1)3+1=4（3n²-3n+1）；
n=1帶入上式得a₁=4不滿足已知a₁=3；
∴an=

3 n=1 4(3n2-3n+1) n＞1

；
（Ⅱ）n=1時，c1=

12

3-4

=-12，
n＞1時，cn=

12

4(3n2-3n+1)-4

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=-12+1-

1

2

+…+

1

n-1

-

1

n

=-11-

1

n

；
n=1帶入上式T₁=-12，即n=1符合T_n；
∴Tn=-11-

1

n

．

點評：考查數列的前n項和與通項a_n的關系，等差數列的通項公式，通過讓前后項相互抵消的方法求數列前n項和．