Question

15．記max{a，b}表示a，b中較大的數(shù)，則函數(shù)f（x）=x•max{-$\frac{lnx}{ln2}$，4x²}（x＞0）的遞增區(qū)間為（　　）

• A． （0，e）
• B． （0，$\frac{1}{e}$）
• C． （0，$\frac{1}{e}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{2}$），（e，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出函數(shù)y=-$\frac{lnx}{ln2}$與y=4x²（x＞0）的圖象，結(jié)合圖象得出函數(shù)y=-$\frac{lnx}{ln2}$與y=4x²（x＞0）的圖象交于點（$\frac{1}{2}$，1）；由此得出函數(shù)f（x）的一個增區(qū)間是（$\frac{1}{2}$，+∞），再求出f（x）另一個增區(qū)間即可．

解答 解：根據(jù)題意，畫出函數(shù)y=-$\frac{lnx}{ln2}$與y=4x²（x＞0）的圖象如圖所示；

函數(shù)y=-$\frac{lnx}{ln2}$是單調(diào)減函數(shù)，且交x軸與點（1，0），
y=4x²（x＞0）是增函數(shù)，且過原點；
則函數(shù)y=-$\frac{lnx}{ln2}$與y=4x²（x＞0）的圖象交于點（$\frac{1}{2}$，1）；
∴當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時，-$\frac{lnx}{ln2}$＜4x²（x＞0），
此時函數(shù)f（x）=x•max{-$\frac{lnx}{ln2}$，4x²}=4x³是增函數(shù)，
對應(yīng)的區(qū)間（$\frac{1}{2}$，+∞）是增區(qū)間；
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，f（x）=x•max{-$\frac{lnx}{ln2}$，4x²}=-$\frac{xlnx}{ln2}$，
f′（x）=-$\frac{lnx+1}{ln2}$，
∴當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
$\frac{1}{e}$＜x＜$\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
綜上，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，$\frac{1}{e}$）與（$\frac{1}{2}$，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查了新定義的函數(shù)的單調(diào)性判斷問題，解題時應(yīng)根據(jù)題意畫出圖象，結(jié)合圖象解答問題，是綜合題．