Question

12．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面ABCD⊥平面PCD，∠PCD=90°，PC=1.5，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：PC⊥平面ABCD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在何位置時(shí)，PA∥平面BDE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性質(zhì)可證明結(jié)論；
（2）代入棱錐的體積公式計(jì)算可求出棱錐的體積；
（3）連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OE，則O是BD的中點(diǎn)，顯然當(dāng)E為PC中點(diǎn)時(shí)，有PA∥OE，從而PA∥平面BDE．

解答 證明：（1）∵∠PCD=90°，∴PC⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PC?平面PCD，
∴PC⊥平面ABCD．
（2）V_棱錐P-ABCD=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}•PC=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×1.5$=2．
（3）當(dāng)E為PC的中點(diǎn)時(shí)，PA∥平面BDE．證明如下：
連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OE，
∵四邊形ABCD是正方形，∴O是AC的中點(diǎn)，∵E是PC的中點(diǎn)，
∴OE∥PA，∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，線面平行的判定，空間幾何體的體積計(jì)算，是基礎(chǔ)題．