Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)（包括邊）的動(dòng)點(diǎn)，且A₁F∥平面D₁AE，下列說法錯(cuò)誤的是（　�。�

• A、點(diǎn)F的軌跡是一條線段
• B、A₁F與BE不在同一平面
• C、三棱錐F-A₁D₁A的體積為定值
• D、A₁F與D₁E不可能平行

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，判斷A是否正確；
根據(jù)異面直線的判定定理，判斷B是否正確；
利用點(diǎn)面距離的轉(zhuǎn)化與棱錐的體積公式，判斷C是否正確；
根據(jù)當(dāng)F與M重合時(shí)，此時(shí)A₁F∥D₁E，可得D錯(cuò)誤．

解答： 解：對(duì)A．設(shè)平面AD₁E與直線BC交于點(diǎn)G，連接AG、EG，則G為BC的中點(diǎn)
分別取B₁B、B₁C₁的中點(diǎn)M、N，連接AM、MN、AN，則
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN內(nèi)的相交直線，∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此結(jié)合A₁F∥平面D₁AE，可得直線A₁F?平面A₁MN，即點(diǎn)F的軌跡是線段MN，∴A正確．
對(duì)B．由A知，平面A₁MN∥平面D₁AE，∴A₁F與D₁E不可能平行，∴B正確．
對(duì)C．∵F∈MN，MN?平面B₁MN，平面B₁MN∥平面AA₁D₁，∴VF-AA1D1=VB1-AA1D1，∴三棱錐F-A₁D₁A的體積為定值，∴C正確．
對(duì)D．當(dāng)F與M重合時(shí)，∵M(jìn)為BB₁的中點(diǎn)，此時(shí)A₁F∥D₁E，∴D錯(cuò)誤．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間直線與平面平行關(guān)系的判定與性質(zhì)，考查了異面直線的判定及棱錐的體積公式，綜合性較強(qiáng)，正確的作出圖形是關(guān)鍵．