Question

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)在的三角形的面積為.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知?jiǎng)又本�y＝k(x＋1)與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．

①若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－，求斜率k的值；

②若點(diǎn)M(－，0)，求證：為定值．

Answer 1

 (1)橢圓＋＝1(a>b>0)滿足a²＝b²＋c²，＝，×b×2c＝，解得a²＝5，b²＝，則橢圓方程為＝1.

(2)①將y＝k(x＋1)代入＝1中得，

(1＋3k²)x²＋6k²x＋3k²－5＝0，

Δ＝36k⁴－4(3k²＋1)(3k²－5)＝48k²＋20>0，

x₁＋x₂＝－.

因?yàn)?i>AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－，所以－＝－，解得k＝±.

②證明：由①知x₁＋x₂＝

＝＋＋k²＝.

∴為定值．