Question

【題目】已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).

（1）若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有唯一的極大值，求的取值范圍；

（2）若，，試研究的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）有個(gè)零點(diǎn)

【解析】

（1）先求導(dǎo)得，再分和兩種情況討論求得的取值范圍；（2）分析可知，只需研究時(shí)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況，再分兩種情形討論即可.

（1）當(dāng)時(shí)，，，

在是減函數(shù)，且，，

①，當(dāng)，時(shí)，恒成立，在是增函數(shù)，無極值；

②，當(dāng)，時(shí)，，使得，，，單調(diào)遞增；

，，單調(diào)遞減，為唯一的極大值點(diǎn)，所以

（2），，，，可知，

（i）時(shí)，，無零點(diǎn)；所以只需研究，，

（ii）時(shí)，，可知單調(diào)遞減，

，，唯一的，；

（iii）當(dāng)，是減函數(shù)，且，，

則，，在是增函數(shù)，是減函數(shù)，并且，，，

所以，；，，且知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

又因?yàn)?/span>，，，所以，，

，，綜上所述，由（i）（ii）（iii）可知，有個(gè)零點(diǎn).