【題目】已知函數(shù)
，
是
的導(dǎo)函數(shù).
（1）若
，當(dāng)
時，函數(shù)在
內(nèi)有唯一的極大值，求
的取值范圍；
（2）若
，
，試研究
的零點個數(shù).
【答案】（1）
；（2）
有
個零點
【解析】
（1）先求導(dǎo)得
，再分
和
兩種情況討論求得
的取值范圍；（2）分析可知，只需研究
時零點的個數(shù)情況，再分
兩種情形討論即可.
（1）當(dāng)
時，
，
，
在
是減函數(shù)，且
，
，
①，當(dāng)
，時，
恒成立，
在是增函數(shù)，無極值；
②，當(dāng)
，時，
，使得
，
，
，單調(diào)遞增；
，
，單調(diào)遞減，
為唯一的極大值點，所以
（2）
，
，
，
，可知，
（i）
時，
，無零點；所以只需研究，
，
（ii）
時，
，可知單調(diào)遞減，
，
，
唯一的
，
；
（iii）當(dāng)
，
是減函數(shù)，且
，
，
則
，
，
在
是增函數(shù)，
是減函數(shù)，并且
，
，
，
所以
，
；
，
，且知在
單調(diào)遞減，在
單調(diào)遞增，在
單調(diào)遞減.
又因為
，
，
，所以
，
，
，
，綜上所述，由（i）（ii）（iii）可知，有個零點.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
和
滿足
若
為等比數(shù)列，且
（1）求
和
；
（2）設(shè)
，記數(shù)列
的前
項和為
①求
；
②求正整數(shù) k，使得對任意
均有
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B，及CD的中點P處，已知
km,
,為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A，B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO，BO，OP，設(shè)排污管道的總長為ykm．
（I）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：
①設(shè)
，將
表示成
的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)
，將表示成
的函數(shù)關(guān)系式．
（Ⅱ）請你選用（I）中的一個函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
．
（1）若直線
與函數(shù)
的圖象相切，求實數(shù)
的值；
（2）若存在
，
，使
，且
，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)
時，求證：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
是
的導(dǎo)函數(shù).
（1）若
，當(dāng)
時，函數(shù)在
內(nèi)有唯一的極大值，求
的取值范圍；
（2）若
，
，試研究
的零點個數(shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程和的直角坐標方程；
（2）已知曲線
的極坐標方程為
，點
是曲線與的交點，點
是曲線與的交點，、均異于原點，且
，求實數(shù)
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
的左右焦點分別為
，
的周長為12．
（1）求點
的軌跡
的方程．
（2）已知點
，是否存在過點
的直線
與曲線交于不同的兩點
，使得
，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．
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