Question

14．求數(shù)列$\frac{1}{1×3}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{5×7}$，…，$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，…的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 直接利用裂項(xiàng)法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：因?yàn)?\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
所以S_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}$[1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$]
=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列求和，裂項(xiàng)消項(xiàng)法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．